A propos

Un son tridimensionnel peut être décrit d'un point de vue physique par un champ acoustique qui est défini pour tout point (x,y,z) de l'espace et pour tout instant t par le champ de pression notée p(x,y,z,t).
Cependant, la manipulation d'un champ acoustique sous sa forme directe n'est pas possible car il serait nécessaire de le connaître explicitement pour toutes les valeurs (x,y,z,t). Par conséquent, un champ acoustique doit être représenté sour une forme plus souple et compacte et est décomposé, en coordonnées sphériques, en série de Fourier-Bessel. A partir du champ de pression quadridimentionnel, p(r,,,t), la décomposition en série de Fourier-Bessel fournit un ensemble de signaux appelés coefficients de Fourier-Bessel du champ acoustique, notés pl,m(t), où l et m sont des entiers qui satisfont l >= 0 and -l <= m <= l. Dans le formalisme de Fourier-Bessel, l est appelé l'ordre. Dans le domaine fréquentiel, P(r,,,f) and Pl,m(f) sont respectivement les transformées de Fourier de P(r,,,f) et pl,m(t). Cette décomposition est donnée par l'expression suivante:

où k = 2*pi*f/c et c est la vitesse du son, approximativement 340 m/s. Les séries de Fourier-Bessel sont généralement tronquées à un ordre donné L. Cet ordre limite détermine la résolution de la représentation du champ acoustique. Plus l'ordre est grand, plus la représentation du champ acoustique est fidèle, mais plus la charge de calcul et le nombre de signaux seront importants.

Fonction deFourier-Bessel (espace)		Fonctions exponentielles (temps)

Elles sont composées de deux parties :

• les harmoniques sphériques
  
  et

   

• les fonctions de Bessel sphériques

Les fonctions sphériques de Bessel donne le comportement radial des fonctions de Fourier-Bessel tandis que les harmoniques sphériques donne leur comportement angulaire.
La variable l est appelée ordre.
Les fonctions de Fourier-Bessel sont définie pour chaque l > 0 et pour chaque m vérifiant -l < m < l.

Ils sont représentés en utilisant le point de vue du champ de pression sur la figure suivante, où chaque ligne correspond à la valeur de l (de 0 à 2) et chaque colonne correspond à la valeur de m (de -2 à 2).
L'indication indique dans quel plan est représenté le champ acoustique (par exemple, X,Y indique le plan horizontal).

Les harmoniques sphériques sont déjà utilisées par Ambisonics, mais la plupart du temps seulement à l'ordre 0 où 1.
Utiliser Ambisonic à des ordres plus élevés est en effet très difficile à cause de l'absence de microphones présentant naturellement des directivités d'ordre élevé.
Les harmoniques sphériques sont définies pour chaque l > 0 et pour chaque m vérifiant -l < m < l.
Ce sont des objet bidimensionnels qui permettent de modéliser la direction de provenance du son.
Leur représentation habituelle est obtenue par transformée de Fourier sphérique des coefficients de Fourier-Bessel.

Les premières harmoniques sphériques sont représentées sur la figure ci-dessous, où chaque ligne correspond à une valeur de l
(de 0 à 3) et chaque colonne correspond à une valeur de m (de -3 à 3).

Cependant, considérer seulement les harmoniques sphériques n'est pas suffisant pour gérér les champs acoustiques (enregistrement, manipulation ou reproduction).
Nous avons ainsi étudié la base complète de Fourier-Bessel, avec sa composante radiale, et nous sommes désormais capables de manipuler ces objets mathématiques complexes.

Les coefficients de Fourier-Bessel Pl,m(f) s'expriment aussi dans le domaine temporel par les coefficients Pl,m(t), le passage s'effectuant par transformée de Fourier.